Question

【題目】已知橢圓C 的離心率為 ，點 在橢圓C上．直線l過點（1，1），且與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M． （I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點O為坐標原點，延長線段OM與橢圓C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意得 ，解得a2=4，b2=1． 所以橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）四邊形OAPB能為平行四邊形，分2種情況討論：
①當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1滿足題意；
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
將y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， ．
故 ， ．
四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即 ．
則 ．
由直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），過點（1，1），得m=1﹣k．
則 ，
則（4k2+1）（8k﹣3）=0．
則 ．滿足△＞0．
所以直線l的方程為 時，四邊形OAPB為平行四邊形．
綜上所述：直線l的方程為 或x=1
【解析】（Ⅰ）根據題意，可得 ，解得a2與b2的值，代入橢圓的標準方程即可得答案；（Ⅱ）根據題意，分2種情況討論，（1）當直線l與x軸垂直時，分析可得直線l的方程為x=1滿足題意；（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l為y=kx+m，分析A、B、M的坐標，將y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根與系數的關系可得M的坐標，進而由四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分可得P的坐標，代入橢圓的標準方程可得 ，進而分析可得 ，解可得k、m的值，即可得答案．