Question

（理科）對于函數f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+

π

3

，有如下四個命題：
（1）f（x）-g（x）的最大值為

2

；
（2）f[h（x）]在區間[-

π

2

，0]上是增函數；
（3）將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位可得g（x）的圖象．
（4）g[f（x）]是最小正周期為2π的周期函數．
其中真命題的序號是

（1）、（2）、（3）、（4）

．

Answer 1

分析：根據兩角和差的正弦公式，正弦函數的定義域和值域可得（1）正確．  根據f[h（x）]=sin（x+

π

3

），可得f[h（x）]在區間[-

π

2

，0]上是增函數，故（2）正確．
將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位后得到函數y=sin（x-

π

2

）=g（x）的圖象，故（3）正確． 由g[f（x）]=cos（sinx），最小正周期就是sinx的最小正周期2π，故（4）正確．

解答：解：由于f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），故它的最大值等于

2

，故（1）正確．
由于f[h（x）]=sin[（h（x）]=sin（x+

π

3

），當 x∈[-

π

2

，0]時，（x+

π

3

）∈[-

π

6

，

π

3

]?[-

π

2

，

π

2

]，故f[h（x）]在區間[-

π

2

，0]上是增函數，故（2）正確．
將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位后得到函數y=sin（x-

π

2

）=cosx=g（x）的圖象，故（3）正確．
g[f（x）]=cos（f（x））=cos（sinx），它的最小正周期就是sinx的最小正周期為2π，故（4）正確．
故答案為：（1）、（2）、（3）、（4）．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數的定義域和值域、周期性、單調性，三角函數的圖象平移，以及誘導公式的應用，屬于中檔題，掌握三角函數的圖象性質，
是解題的關鍵．