Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e=2.71828…是自然對數的底數，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f(x)＜-g(x)-

1

2

；
（3）是否存在實數a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數導函數，求出導函數的符號，判斷出函數的單調性，求出函數的極值．
（2）構造函數h（x），通過導數，求出導函數的符號，求出h（x）的單調性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式．
（3）求出導函數，通過對a與區間的討論，求出函數的單調性，求出函數的最大值，令最大值為-3，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x+lnx，
f?（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∴當1＜x＜e時，f?（x）＜0，此時f（x）單調遞減，當0＜x＜1時，f?（x）＞0，此時f（x） 單調遞增，
∴f（x）的極大值為f（1）=-1．
（2）∵f（x）的極大值即f（x）在（0，e]上的最大值為-1
令h（x）=-g(x)-

1

2

=-

lnx

x

-

1

2

，
∴h/(x)=

lnx-1

x2

，
∴當0＜x＜e時，h?（x）＜0，且h（x）在x=e處連續
∴h（x）在（0，e]上單調遞減，
∴h（x）_min=h（e）=

1

e

-

1

2

＞-1=f（x）_max
∴當x∈（0，e]時，f(x)＜g(x)-

1

2

（3）假設存在實數a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f?（x）=a+

1

x

，
①當a≥-

1

e

時，由于x∈（0，e]，則f?（x）=a+

1

x

≥0且f（x） 在x=e處連續
∴函數f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．
②當a＜-

1

e

時，
則當-

1

a

＜x＜e時，f?（x）=a+

1

x

＜0，此時f（x）=ax+lnx 是減函數，
當0＜x＜-

1

a

時，f?（x）=a+

1

x

＞0此時f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函數，
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-3，解得a=-e²．
由①、②知，存在實數a=-e²，使得當x∈（0，e]，時f（x）有最大值-3．

點評：解決函數的極值問題常用的是導函數在極值點處的值為0；證明不等式時常轉化為構造函數求函數的最值．