Question

（本題滿分16滿分）設A、B分別為橢圓(a>b>0)的左右頂點,P為直線x=u上不同于(u,0)的任一點,若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B的點M、N,研究點B與以MN為直徑的圓的位置關系.

Answer 1

略

解析:

因A(-a,0),B(a,0),設M(x₁,y₁),由P、A、M三點共線可得：P(u,),于是＝

（x₁-a,y₁）,=(u-a, ),=( x₁-a)(u-a)+      ……3分

因為M點在橢圓上，所以代入上式整理可得：

＝.……6分

由點M異于頂點A、B,所以x₁-a>0,……8分

1)當a<u<時，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0,

于是∠MPB為銳角，此時∠MBN與∠MBP互補，從而∠MBN為鈍角，故點B在MN為直徑的圓內。

2）當u=時，a(a²+b²)-u(a²-b²)＝0，所以＝0，于是∠MPB為直角，故點B在以MN為直徑的圓上。……12分

3）當u>時，a(a²+b²)-u(a²-b²)<0,則<0,于是，∠MPB為鈍角，此時∠MBN與∠MBP互補，從而∠MBN為銳角，故點B在MN為直徑的圓外。…………14分

當u<a時，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0，∠MPB為銳角，此時∠MBN與∠MBP相等，從而∠MBN為銳角，故點B在MN為直徑的圓外。…………………………………16分

點評：本題考查直線與圓位置關系，直線與橢圓位置關系，靈活運用相關知識解決問題的能力，運算能力，屬于難題