利用二項式定理證明51⁵¹－1能被7整除.

思路解析：為了在展開式中出現7的倍數，應把51拆成7的倍數與其他數的和(或差)的形式.

證明：51⁵¹－1=(49+2)⁵¹－1=C49⁵¹+C49⁵⁰2+…+C49·2⁵⁰+C2⁵¹－1，

易知除C2⁵¹－1以外各項都能被7整除.

又2⁵¹－1=(2³)¹⁷－1=(7+1)¹⁷－1=C7¹⁷+C7¹⁶+…+C7+C－1=7(C7¹⁶+C7¹⁵+…+C).

顯然能被7整除，所以51⁵¹－1能被7整除.

方法歸納利用二項式定理證明有關多項式(數值)的整除問題，關鍵是將所給多項式通過恒等變形變為二項式形式，即把冪底數化成除數的倍數與一較小數的和、差的形式，利用展開式進行化簡，使其展開后的各項均含有除式.整除的理論依據是：若p,q都能被r整除，則mp+nq也能被r整除.

練習冊系列答案

創維新課堂系列答案

世紀百通主體課堂小學課時同步達標系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費課程推薦！	初一	初一免費課程推薦！
高二	高二免費課程推薦！	初二	初二免費課程推薦！
高三	高三免費課程推薦！	初三	初三免費課程推薦！
更多初中、高中輔導課程推薦,點擊進入>>

相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在二項式定理這節教材中有這樣一個性質：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N
（1）計算1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³的值方法如下：
設S=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³又S=4•C₃³+3•C₃²+2•C₃¹+1•C₃⁰
相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³
所以2S=5•2²=20利用類似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
（2）將（1）的情況推廣到一般的結論，并給予證明
（3）設S_n是首項為a₁，公比為q的等比數列{a_n}的前n項的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2009屆上海市南匯中學高三年級零次月考、數學試卷 題型：044

在二項式定理這節教材中有這樣一個性質：