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在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1的長；
（2）求異面直線AC1與A1B所成角的余弦值．
分析：（1）根據
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1
，兩邊平方，利用向量的數量積公式，即可得到結論；
（2）確定
AC1
，
A1B
的數量積與模長，利用向量的夾角公式，即可求得異面直線AC1與A1B所成角的余弦值．
解答：解：（1）∵
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1
，AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
∴
AC1
2=1+4+9+2•1•2•cos90°+2•1•3•cos60°+2•2•3•cos60°=23
∴|
AC1
|=
23
；
（2）∵
A1B
=
AB
-
AA1
，
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1
，
∴
A1B
•
AC1
=(
AB
-
AA1
)•（
AB
+
AD
+
AA1
）=
AB
2+
AB
•
AA1
-
AA1
•
AB
-
AA1
•
AD
-
AA1
2=1-3-9=-11
∵
A1B
2=(
AB
-
AA1
)2=1+9-3=7，∴|
A1B
|=
7

∴cos＜
AC1
，
A1B
＞=
AC1
•
A1B
|
AC1
||
A1B
|
=
-11
23
×
7
=
-11
161
161

∴異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為
11
161
161
．
點評：本題考查空間角，考查向量知識的運用，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，若
A1B1
=
a
，
A1D1
=
b
，
AA1
=
c
，則向量
B1O
等于（　　）
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A、
1
2
a
+
1
2
b
+
c
B、
1
2
a
-
1
2
b
+
c
C、-
1
2
a
+
1
2
b
+
c
D、-
1
2
a
-
1
2
b
+
c

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，則下列向量中與
BM
相等的向量是（　　）
A、-
1
2
a
+
1
2
b
+
c
B、
1
2
a
+
1
2
b
+
c
C、-
1
2
a
-
1
2
b
+
c
D、
1
2
a-
1
2
b+c

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量
D1A
、
D1C
、
A1C1
是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，求AC1的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，
AC
=
a
，
BD
=
b
，
AC1
=
c
，試用
a
、
b
、
c
表示
BD1
=
b
+
c
-
a
b
+
c
-
a
．

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同步練習冊答案
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