Question

如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足：||=2且EF⊥l于G，點Q是直線l上一動點，點M滿足，點P滿足，=0.

(1)建立適當的直角坐標系，求動點P的軌跡方程；

(2)若經過點E的直線l₁與點P的軌跡交于相異兩點A、B，令∠AFB=θ，當4π≤θ≤π時，求直線l₁的斜率k的取值范圍.

Answer 1

解：(1)以FG的中點為原點，以EF為y軸建立直角坐標系xOy.設P(x，y)，

則F(0，1)、E(0，3),l：y=-1.                                                   

∵,,∴Q(x，-1)，M(，0).

由=0,∴()·x+(-y)(-2)=0,

即所求點P的軌跡方程為x²=4y.                                                 

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)，該直線l的方程為y=kx+3.

由,得x²-4kx-12=0,∴x₁+x₂=4k,x₁·x₂=-12.

∴y₁·y₂==9,y₁+y₂=k(x₁+x₂)+6=4k²+6,

∵=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

∴·=x₁x₂+y₁y₂-(y₁+y₂)+1=-4k²-8.

而||·||=(y₁+1)(y₂+1)=y₁·y₂+(y₁+y₂)+1=4k²+16,

∴cosθ=,

∵≤θ≤π,-1≤cosθ≤,

即-1≤,∴k²≥.

解得k≥或k≤.

∴直線l₁的斜率k≥或k≤.