Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA，PD，CD的中點．

(1)求證：PB∥面EFG；

(2)求異面直線EG與BD所成的角；

(3)在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為0.8．若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)證明：取AB中點H，連結GH，HE， 　　∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點， 　　∴GH∥AD∥EF， 　　∴E，F，G，H四點共面．……1分 　　又H為AB中點， 　　∴EH∥PB．……2分 　　又面EFG，平面EFG， 　　∴PB∥面EFG．……3分 　　(2)解：取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM∥BD， 　　∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角．……4分 　　在Rt△MAE中，， 　　同理，……5分 　　又， 　　∴在Rt△MGE中，……6分 　　故異面直線EG與BD所成的角為．……7分 　　(3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件．過點Q作QR⊥AB于R，連結RE，則QR∥AD． 　　∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2， 　　∴AD⊥AB，AD⊥PA， 　　又AB∩PA＝A， 　　∴AD⊥平面PAB．……8分 　　又∵E，F分別是PA，PD中點， 　　∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB 　　又面EFQ， 　　∴面EFQ⊥平面PAB．……9分 　　過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ， 　　∴AT就是點A到平面EFQ的距離．……10分 　　設CQ＝x(0≤x≤2)，則BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1， 　　在Rt△EAR中，……11分 　　解得． 　　故存在點Q，當時，點A到平面EFQ的距離為0.8……12分 　　解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz， 　　則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 　　(1)證明：∵， 　　，……1分 　　設，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1) 　　解得s＝t＝2． 　　∴，又∵與不共線，∴、與共面．……2分 　　∵平面EFG，∴PB∥平面EFG．……3分 　　(2)解：∵，，……4分 　　∴．……6分｀ 　　故異面直線EG與BD所成的角為．……7分 　　(3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件．令CQ＝m(0≤m≤2)，則DQ＝2－m， 　　∴點Q的坐標為(2－m，2，0)，∴．……8分 　　而，設平面EFQ的法向量為，則 　　 　　∴． 　　令x＝1，則．……9分 　　又， 　　∴點A到平面EFQ的距離……10分 　　即，∴或不合題意，舍去． 　　故存在點Q，當時，點A到平面EFQ的距離為0.8……12分