Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x =-1與x=2處都取得極值。
（1）求a，b的值及函數f（x）的單調區間；
（2）若對x∈[-2，3]，不等式f（x）+c<c²恒成立，求c的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得
即，
解得，
∴
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的減區間為（-1，2），增區間為（-∞，-1），（2，+∞）；
（2）由（1）知，f（x）在（-∞，-1）上單調遞增；
在（-1，2）上單調遞減；
在（2，+∞）上單調遞增，
∴x∈[-2，3]時，f（x）的最大值即為f（-1）與f（3）中的較大者，

所以當x=-1時，f（x）取得最大值，
要使，只需，
即2c²＞7+5c，
解得c＜-1或，
∴c的取值范圍為。