Question

已知不相等的正數a,b,c成等差數列，當n＞1且n∈N時，試證明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

證明：（1）當n=2時，∵a²+c²＞2()²=2b²,即命題成立.

（2）設當n=k(k≥2)時，有a^k+c^k＞2b^k.

由于a,c為正數，所以(a^k-c^k)與a-c同號，即（a^k-c^k）(a-c)＞0,亦即a^k+1+c^k+1＞a^kc+ac^k,

∴a^k+1+c^k+1=12(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^kc+ac^k)

=(a^k+c^k)(a+c)=(a^k+c^k)b＞2b^k+1,

即n=k+1時成立.

由（1）、（2）,知對于n＞1且n∈N時命題成立.