Question

4．設P是△ABC所在平面α外一點，且P到AB、BC、CA的距離相等，P在α內的射影P′在△ABC內部，則P′為△ABC的（　�。�

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 內心
• D． 外心

Answer 1

分析 作出圖形分析位置關系，利用三垂線定理，投影定理，可得P'在底面ABC的位置．利用四心定義，準確判斷．

解答 解：解法一：由題p到AB、BC、CA的距離相等，
知|PH|=|PG|=|PF|，且PH⊥AC，PG⊥BC，PF⊥AB，
又PP'⊥平面ABC
∴∠PP'H=∠PP'G=∠PP'F=90°
∴△PP'H≌△PP'G≌△PP'F
∴P'H=P'G=P'F
又∵PP'⊥平面ABC
∴PP'⊥AB且P'F⊥AB
∴AB⊥平面PP'F
∴AB⊥P'F
同理 BC⊥P'G，AC⊥P'H
所以P'到到AB、BC、CA的距離相等，
故P'為△ABC的內心．
故選C．
解法二：由題及三垂線定理可知：
AB⊥P'F，BC⊥P'G，AC⊥P'H
又|PH|=|PG|=|PF|，由投影定理知：
P'H=P'G=P'F
所以P'到到AB、BC、CA的距離相等，
故P'為△ABC的內心．
故選C．

點評 考查三垂線定理，投影定理，線面垂直判定定理，△內心定義．考查了數形結合思想．三角形四心問題，容易概念混亂，故本題屬于中檔題．