Question

在數列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1，（n=1，2，3，…）．
（1）證明數列{a_n-n}是等比數列；
（2）bn=

an

2n

，Sn為數列{b_n}的前n項和，求S_n的表達式．

Answer 1

分析：（I）此證明題應從結論中找方法，要證明數列{a_n-n}是等比數列，將題設中的條件a_n+1=2a_n-n+1變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）即可；
（II）由（I）結論可求出b_n，由通項公式的形式可以看出，本題宜先用分組求和的技巧，然后對其一部分用錯位減法求和．最后將結果綜合起來．

解答：解：∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）
∴

an+1-(n+1)

an-n

=2，a₁-1=-2
∴數列{a_n-n}是以-2為首項，2為公比的等比數列．（6分）
（2）由（1）得：a_n-n=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ，b_n=

an

2n

=

n

2n

-1
∴Sn=b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-1) +(

2

22

-1) +…+(

n

2n

-1)=(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

) -n
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…

n

2n

，則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，

兩式相減得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

，即S_n═2-

n+2

2n

-n    （12分）

點評：本題是一道綜合性較強的題，要觀察分析，判斷，選擇合適的方法，如（I）的求解要從證明的結論中找變形方向；（II）中的求解要邊變形邊觀察，化整為零，分塊求解，這對答題者分析判斷的能力要求較高