Question

知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以其兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為4的正方形，設(shè)P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，C、D的坐標(biāo)分別是(-

2

，  0)，  (

2

，  0)，則PC•PD的最大值為

 

．

Answer 1

分析：利用正方形的面積求出橢圓的焦距、長(zhǎng)軸長(zhǎng)；利用橢圓的大定義求出P到兩焦點(diǎn)的距離，代入PC•PD轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值，利用二次函數(shù)求出最值．

解答：解：設(shè)左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，正方形邊長(zhǎng)=2，
∴|AF₁|=|AF₂|=2，|F1F2|=2

2

，
c=

2

，
則C、D是橢圓的左右焦點(diǎn)，C是F1，D是F2，
根據(jù)橢圓定義，|AF1|+|AF2|=2+2=4=2a，
a是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，
a=2，
|PF1|+|PF2|=2a=4，
|PF1|•|PF2|=|PF1|•（4-|PF1|），
設(shè)|PF1|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x²+4x═-（x-2）²+4
當(dāng)x=2時(shí)．其乘積最大值為4．
當(dāng)P在短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、二次函數(shù)最值的求法．