Question

5．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$（a＞0）．
（1）證明函數f（x）在（0，2]上是減函數，（2，+∞）上是增函數；
（2）若方程f（x）=0有且只有一個實數根，判斷函數g（x）=f（x）-4的奇偶性；
（3）在（2）的條件下探求方程f（x）=m（m≥8）的根的個數．

Answer 1

分析 （1）利用導數的正負，即可證明；
（2）求出g（x）=x+$\frac{4}{x}$，又g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，利用奇函數的定義進行判斷；
（3）由（2）知f（x）=m可化為x+$\frac{4}{x}$=m-4（m≥8），再分類討論，即可得出結論．

解答 證明：（1）由題意：f（x）=x+$\frac{4}{x}$+a，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（0，2]上是減函數，（2，+∞）上是增函數          …（4分）
解：（2）由題意知方程x²+ax+4=0有且只有一個實數根
∴△=a²-16=0，
又a＞0，∴a=4．…（5分）
此時f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4，g（x）=x+$\frac{4}{x}$，
又g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，…（6分）
且g（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-g（x），…（7分）
∴g（x）是奇函數                                 …（8分）
（3）由（2）知f（x）=m可化為x+$\frac{4}{x}$=m-4（m≥8）…（9分）
又由（1）（2）知：
當m-4=4  即m=8時f（x）=m只有一解            …（10分）
當m-4＞4即m＞8時f（x）=m有兩解            …（11分）
綜上，當m=8時f（x）=m只有一解；當m＞8時f（x）=m有兩解；                …（12分）

點評 本題考查函數的單調性與奇偶性，考查方程解的個數的判斷，屬于中檔題．