Question

給定兩個命題，命題p：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命題q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據二次函數恒成立的充要條件，我們可以求出命題p為真時，實數a的取值范圍，根據二次函數有實根的充要條件，我們可以求出命題q為真時，實數a的取值范圍，然后根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q中一個為真一個為假，分類討論后，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；（2分）
關于x的方程x²-x+a=0有實數根?△=1-4a≥0?a≤

1

4

；…（4分）
p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真，…（5分）
如果p真q假，則有0≤a＜4，且a＞

1

4

∴

1

4

＜a＜4；…（6分）
如果p假q真，則有a＜0，或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0…（7分）
所以實數a的取值范圍為（-∞，0）∪（

1

4

，4）． …（8分）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題的真假，函數恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．