Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心為O，則下列各命題中的真命題有（　　）
①

OA

+

OD

與

OB1

+

OC1

是一對相反向量
②

OB

-

OC

與

OA1

-

OD1

是一對相反向量
③

OA

+

OB

+

OC

+

OD

與

OA1

+

OB1

+

OC1

+

OD1

是一對相反向量
④

OA1

-

OA

與

OC

-

OC1

是一對相反向量．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，借助向量的坐標運算及向量的幾何意義判定即可．

解答：解：∵設正方形的邊長為2，以A點為原點建立空間直角坐標系，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心為O，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（2，2，2），D₁（0，2，2）
∵O為中心，∴O（1，1，1）
∵

OA

+

OD

=（-1，-1，-1）+（-1，1，-1）=（-2，0，-2），

OB1

+

OC1

=（1，-1，1）+（1，1，1）=（2，0，2）=-（-2，0，-2），∴①√；
∵

OB

-

OC

=（1，-1，-1）-（1，1，-1）=（0，-2，0）=

OA1

-

OD1

=（-1，-1，1）-（-1，1，1）=（0，-2，0），∴②×；
∵

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=（-1，-1，-1）+（1，-1，-1）+（1，1，-1）+（-1，1，-1）=（0，0，-4）

OA1

+

OB1

+

OC1

+

OD1

=（-1，-1，1）+（1，-1，1）+（1，1，1）+（-1，1，1）=（0，0，4），∴③√；
∵

OA1

-

OA

=（-1，-1，1）-（-1，-1，-1）=（0，0，2），

OC

-

OC1

=（1，1，-1）-（1，1，1）=（0，0，-2）
∴④√；
故選C

點評：本題考查向量先關概念、向量的坐標表示及向量的坐標運算等知識，此類題利用坐標運算解決簡單、明了．另外也可利用向量運算解決．