Question

設甲、乙兩套試驗方案在一次試驗中成功的概率均為p，且這兩套試驗方案中至少有一套試驗成功的概率為0.51．假設這兩套試驗方案在試驗過程中，相互之間沒有影響．
（I）求p的值；
（II）設試驗成功的方案的個數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

解：（I）記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，
則至少有一套試驗成功的事件為．
由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1-p．
∴P（A）=（1-p）²，
∴．
令1-（1-p）²=0.51，解得p=0.3．

（II）解：ξ的可取值為0，1，2．
∵當ξ=0時表示試驗成功的方案的個數為0，
當ξ=1時表示試驗成功的方案的個數為1，
當ξ=2時表示試驗成功的方案的個數為2，
根據獨立重復試驗概率公式得到分布列
P（ξ=0）=（1-0.3）²=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，
P（ξ=2）=0.3²=0.09．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數學期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6．
分析：（I）由題意知記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1-p．列出等式，解出變量P．
（II）由題意知ξ的可取值為0，1，2．當ξ=0時表示試驗成功的方案的個數為0，當ξ=1時表示試驗成功的方案的個數為1，當ξ=2時表示試驗成功的方案的個數為2，根據獨立重復試驗概率公式得到分布列算出期望．
點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單得多．