Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、輔助角公式，化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
（II）先確定-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

令(2x-

π

6

)∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，則x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）因為x∈[0，

2π

3

]，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
因此0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的取值范圍為[0，

3

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．