Question

（2012•遼寧）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E．證明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．

Answer 1

分析：（I）利用圓的切線的性質得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，從而有△ACB∽△DAB，

AC

AD

=

AB

BD

，由此得到所證．
（II）利用圓的切線的性質得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，

AE

AD

=

AB

BD

，AE•BD=AD•AB，再結合（I）的結論AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

解答：證明：（I）∵AC與⊙O'相切于點A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴

AC

AD

=

AB

BD

，
∴AC•BD=AD•AB．
（II）∵AD與⊙O相切于點A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴

AE

AD

=

AB

BD

，∴AE•BD=AD•AB．
再由（I）的結論AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

點評：本題主要考查圓的切線的性質，利用兩個三角形相似得到成比列線段，是解題的關鍵，屬于中檔題．