Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-2，0），左準線L₁與x軸交于點N（-3，0），過點N且傾斜角為30°的直線L交橢圓于A、B兩點；
（1）求直線L和橢圓的方程；
（2）求證：點F₁（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得橢圓的c，進而根據準線方程求得a，則b可求得．則橢圓方程可得，進而根據點斜式求得直線L的方程．
（2）把直線與橢圓方程聯立，消去y，設出A，B的坐標，則可求得x₁+x₂=-3x₁x₂，進而分別表示出F₁A和AF₁B斜率，進而求得kF1A•kF1B的值．

解答：解：（1）由題意知，c=2及

a2

c

=3得a=6
∴b²=6-2²=2
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1
直線L的方程為：y-0=tan30⁰（x+3）即y=

3

3

（x+3）
（2）由方程組

x2+3y2=6 y= 3 3 (x+3)

得2x²+6x+3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-3x₁x₂=

3

2

∵kF1A•kF1B=

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

1 3 (x1+3)(x2+3)

(x1+2)(x2+2)

=

x1x2+3(x1+x2)+9

3[x1x2+2(x1+x2)+4 ]

=-1
∴F₁A⊥F₁B則∠AF₁B=90°
∴點F（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．