Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列.
（1）      若，是否存在，有說明理由；
（2）      找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；
（3）      若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明.

Answer 1

（1）由，                       ……2分
整理后，可得，，為整數，
不存在，使等式成立.                          ……5分
（2）解法一 若即，       （*）
（i）若，
當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求.……7分
（ii）若，（*）式等號左邊取極限得（*）式等號右邊只有當時，才可能等于1，此時等號左邊是常數，，矛盾.
綜上所述，只有當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求.                                                ……10分
解法二 設，若，對都成立，且為等比數列，則，對都成立，即，
，對都成立，……7分
（i）若，.
（ii）若，則
綜上所述，，使對一切，. ……10分
（3），
設
，
，，           ……13分
取，……15分
由二項展開式可得整數，使得，

存在整數滿足要求.
故當且僅當，命題成立.                              ……18分
說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）
若為偶數，則為偶數，但為奇數.
故此等式不成立，一定為奇數.                        ……1分
當，
而
           當為偶數時，存在，使成立，                 ……1分
當 ，
也即，，
由已證可知，當為偶數即為奇數時，存在，成立，……2分
當，
也即，而不是5的倍數，當所要求的不存在，
故不是所有奇數都成立.                                       ……2分

⑴知道了數列通項，可以把表達出來，因為，看是否滿足條件；
⑵寫出兩個數列的通項，根據公差的取值進行討論；
⑶由題意可知，數列的通項可以確定，設連續的項的的首項，可以求出這項的和，讓其等于數列的第k項，建立方程，因為，從這里入手進行計算.