Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比大于1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃=14，且a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=1，bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）要求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式，由于已知等比數(shù)列{a_n}的公比大于1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃=14，且a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差數(shù)列，由這些關(guān)系建立方程可以求出首項(xiàng)與公比，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，將其代入bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)即可求得}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．先求出數(shù)列{

bn

an

}的通項(xiàng)公式，由其形式可以得出，需要分組求和．

解答：解：（1）∵a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差數(shù)列，
∴6a₂=a₁+8+a₃+6=a₁+a₃+14，
又∵S₃=a₁+a₂+a₃=14，
∴a₂=4，從而得a₁=2，a₃=8，
∴a_n=2ⁿ，故有

1

an

=

1

2n

∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)=2ⁿ×

1 2 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=2ⁿ-2
故b_n=

1    n=1 2n-2  n≥2

（2）∵

bn

an

= 

1 2 ，n=1 1-2n-1 n≥2

∴T_n=

1

2

+n-1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=n-

3

2

+(

1

2

)n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差等比數(shù)列的綜合以及分組求和的技巧，其特征是一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)如果一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)，則可以采用分組的方法求和．