Question

（1）已知曲線C的極坐標方程為；
（Ⅰ）若以極點為原點，極軸所在的直線為x軸，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值
（2）已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，
（I）求證：；
（II）求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I）根據的極坐標和直角坐標的互化公式，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，再化為參數方程．
（II）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，則P（3cosθ，2sinθ），利用輔助角公式可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=sin（θ+∅），令sin（θ+∅）=1，求得3x+4y的最大值；
（2）（I）根據柯西不等式直接證明即可；
（II）將（I）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，代入，消去a、b、c得到關于m的不等關系，解之即可求出m的范圍．
解答：解：（1）（I）把曲線C的極坐標方程為；
化為直角坐標方程為 ，
（II）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，則P（3cosθ，2sinθ），
可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=sin（θ+∅），故當sin（θ+∅）=1時，3x+4y 取得最小值為．
（2）（I）根據柯西不等式可得（）（1+2²+3²）≥（a×1+×2+×3）2=（a+b+c）²
∴≥
（II）∵a+b+c+2-2m=0，+m-1=0
∴1-m≥
解得：-≤m≤1．
點評：本題主要考查點的極坐標和直角坐標的互化，輔助角公式的應用，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．