Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F為AB的兩個三等分點，AC，DF交于點G；
（I）建立適當的平面直角坐標系，證明：EG⊥DF；
（II）設點E關于直線AC的對稱點為E'，問點E'是否在直線DF上，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）建立適當的平面直角坐標系，求出直線EG和DF的方程，利用斜率之間的關系證明：EG⊥DF；
（II）求出點E關于直線AC的對稱點為E'的坐標，判斷E'的坐標是否滿足DF的方程即可證明．

解答：解：（I）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系如圖，設AD的長度為1，
則A（0，0），D（0，1），E（1，0），F（2，0），C（3，1），
∴直線AC的方程為y=

1

3

x，①
直線DF的方程為y=-

1

2

x+1，②
由①②解得交點坐標G（

6

5

，

2

5

），
∴EG的斜率k_EG=2，DF的斜率kDF=-

1

2

，
∴-

1

2

×2=-1，
即EG⊥DF；
（II）設點E'的坐標為（x₁，y₁），
則EE'的中點M（

x1+1

2

，

y1

2

），
由題意得

y1 2 = 1 3 ? x1+1 2 y1 x1-1 ? 1 3 =-1

，
即

x1= 4 5 y1= 3 5

，
∴E'（

4

5

，

3

5

），
∵

3

5

=(-

1

2

)•

4

5

+1，
∴E'在直線DF上．

點評：本題主要考查直線方程的求法，建立平面之間坐標系是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．