Question

命題甲：a∈R，關于x的方程|x|=ax+1（a＞0）有兩個非零實數解；
命題乙：a∈R，關于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集；
當甲、乙中有且僅有一個為真命題時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：當甲真時，設y=|x|和y=ax+1（a＞0），即兩函數圖象有兩個交點．
則0＜a＜1
當乙真時，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集，；①a²-1=0且a-1=0，得：a=1時 滿足題意，
②a²-1＜0且△≤0，即也滿足
則
∴當甲乙有但僅有一個為真命題時，即或
∴
分析：利用圖象法，我們求出函數y=|x|和y=ax+1圖象有兩個交點時，即命題甲為真命題時，實數a的取值范圍，根據一元二次不等式恒成立的充要條件，我們可以求出命題乙為真命題時，實數a的取值范圍，進而根據甲、乙中有且僅有一個為真命題，分類討論后，綜合討論結果，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中利用圖象法，求出命題甲為真命題時，實數a的取值范圍，根據一元二次不等式恒成立的充要條件，求出命題乙為真命題時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．