Question

給出下列命題：
①、已知函數y=f（x）．（x∈R），則y=f（x-1）的圖象與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
②、設函數f（x）=cos（x+φ），則“f（x）為偶函數”的充要條件是“f'（0）=0”；
③、等比數列{a_n}的前n項和為S_n，則“公比q＞0”是“數列{S_n}單增”的充要條件；
④、實數x，y，則“”是“|2y-x|≤2”的充分不必要條件．
其中真命題有    （寫出你認為正確的所有真命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：在y=f（x-1）的圖象上任取一點P（a，b），則有b=f（a-1）=f[1-（2-a）]，故點P（a，b）關于直線x=1的對稱點P'（2-a，b）在y=f（1-x）的圖象上，所以y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；f（x）為偶函數?f（0）=±1?cosφ=±1?sinφ=0?f'（0）=0；公比q＞0不能得到{S_n}單增，如a_n=-2ⁿ．S_n=2-2ⁿ⁺¹單減．{S_n}單增?a_n＞0，（n≥2）成立⇒q＞0；不等式“”表示的平面區域為△ABC，不等式“|2y-x|≤2”表示的平面區域為兩條平行直線l和m之間的部分，前者為后者的真子集．
解答：解析：①、正確．在y=f（x-1）的圖象上任取一點P（a，b），則有b=f（a-1）=f[1-（2-a）]，故點P（a，b）關于直線x=1的對稱點P'（2-a，b）在y=f（1-x）的圖象上，所以y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；提示：若函數y=f（x）滿足f（x-1）=f（1-x），則y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．
②、正確．f（x）為偶函數?f（0）=±1?cosφ=±1?sinφ=0?f'（0）=0
③、錯誤．充分性不成立．公比q＞0不能得到{S_n}單增，如a_n=-2ⁿ．S_n=2-2ⁿ⁺¹單減．
必要性成立．{S_n}單增?a_n＞0，（n≥2）成立⇒q＞0．
④、正確．如圖，不等式“”表示的平面區域為△ABC，不等式“|2y-x|≤2”表示的平面區域為兩條平行直線l和m之間的部分，前者為后者的真子集，故命題正確．
故答案為：①②④．
點評：本題考查必要條件、充分條件和充要條件的判斷，解題時要認真審題，注意函數的對稱性、奇偶性、單調性和可行域的靈活運用．