Question

（本小題共13分）在平面直角坐標系xOy中，為坐標原點，以為圓心的圓與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）直線：與圓交于，兩點，在圓上是否存在一點，使得四邊形 為菱形，若存在，求出此時直線的斜率；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，因為直線與圓相切，

所以 ．                 …………………3分

所以圓的方程為 ．              …………………5分

（Ⅱ）（方法一）因為直線：與圓相交于，兩點，

所以，解得或．       …………………7分

假設(shè)存在點，使得四邊形為菱形，             ……………8分

則與互相垂直且平分，                ………………9分

所以原點到直線：的距離為．   …………10分

所以，解得，               ………………11分

即，經(jīng)驗證滿足條件．                 ………………12分

所以存在點，使得四邊形為菱形．       …………………13分

（方法二）記與交于點．

因為直線斜率為，顯然，所以直線方程為．…………7分

，  解得，  所以點坐標為，…………9分

因為點在圓上，所以，解得，………………11分

即，經(jīng)驗證滿足條件．                   ………………12分

所以存在點，使得四邊形為菱形．         ……………13分

 

【解析】略