Question

函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=2，求y=f（x）的值域
（2）若y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有最大值14．求a的值；
（3）在（2）的前題下，若a＞1，作出f（x）=a^|x-1|的草圖，并通過圖象求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2對(duì)于底數(shù)a分類討論得到函數(shù)的最值和單調(diào)性．
（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)的圖象的平移即可

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2
∵2^x＞0，設(shè)t=2^x，則y=（t+1）²-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增
故y＞-1，∴y=f（x）的值域?yàn)椋?1，+∞）…．（5分）
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2…．（6分）
①當(dāng)a＞1時(shí)，又-1≤x≤1，可知

1

a

≤ax≤a，設(shè)a^x=t，
則y=（t+1）²-2在[

1

a

，a]上單調(diào)遞增
∴f(x)max=(a+1)2-2=14，解得a=3或a=-5，故a=3…（8分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，又-1≤x≤1，可知a≤ax≤

1

a

，設(shè)a^x=t，
則y=（t+1）²-2在[a，

1

a

]上單調(diào)遞增
∴f(x)max=(

1

a

+1)2-2=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

，故a=

1

3

…（10分）
綜上可知a的值為3或

1

3

…（11分）
（3）y=3^|x-1|的圖象，
 …..（13分）
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的值域的求解，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解及函數(shù)的圖象的平移及對(duì)稱變換，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的應(yīng)用