Question

已知數列滿足。
（1）寫出，并推測的表達式； 
（2）用數學歸納法證明所得的結論。

Answer 1

解：（1）a₁=，a₂=，a₃=，
猜想a_n=2-。
（2）①由（1）已得當n=1時，命題成立；
②假設n=k時，命題成立，即 a_k=2-，
 當n=k+1時，a₁+a₂+……+a_k+a_k+1+a_k+1=2(k+1)+1，
且a₁+a₂+……+a_k=2k+1-a_k，
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2(k+1)+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-，a_k+1=2-，
即當n=k+1時，命題成立，
根據①②得n∈N*，a_n=2-都成立。