Question

如圖甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D為．垂足，則AB²=BD•BC，該結論稱為射影定理．如圖乙，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內，類比射影定理，探究S_△ABC、S_△BCO、S_△BCD這三者之間滿足的關系是

S△ABC2=S△BCO•S△BCD

．

Answer 1

分析：首先猜想出結論：S△ABC2=S△BCO•S△BCD．，再進行證明：在△BCD內，延長DO交BC于E，連接AE，利用線面垂直的判定與性質可以證出AE⊥BC且DE⊥BC，從而AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線，然后在Rt△ADE中，利用已知條件的結論得到AE²=EO•ED，再變形整理得到S△ABC2=S△BCO•S△BCD，說明猜想正確．

解答：解：結論：S△ABC2=S△BCO•S△BCD．
證明如下
在△BCD內，延長DO交BC于E，連接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD內的相交直線，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根據題中的已知結論，得AE²=EO•ED
兩邊都乘以（

1

2

BC）²，得（

1

2

BC•AE）²=（

1

2

BC•EO）•（

1

2

BC•ED）
∵AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE，S_△BC0=

1

2

BC•EO，S_△BCD=

1

2

BC•ED
所以有S△ABC2=S△BCO•S△BCD，結論成立．

點評：本題以平面幾何中的射影定理為例，將其推廣到空間的一個正確的命題并加以證明，著重考查了類比推理和空間的線面垂直的判定與性質等知識點，屬于基礎題．