Question

設(shè)平面向量

a

=(m，1)，

b

=(2，n)．
（I）當(dāng)m，n∈{-2，-1，1，2}時．記“

a

⊥

b

”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；
（II）當(dāng)m∈[-1，2]，n∈[-1，1]時，記“

a

與

b

所成角為鈍角”為事件B，求事件B發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）首先求出有序數(shù)組（m，n）的所有可能結(jié)果，然后找出滿足條件

a

•

b

=0的所有數(shù)組，運(yùn)用古典概型求事件A發(fā)生的概率；
（2）根據(jù)cos＜

a

，

b

＞=

2m+n

m2+1 n2+4

知，

a

與

b

所成角為鈍角，則2m+n＜0，除去使余弦值為-1的角，結(jié)合m∈[-1，2]，n∈[-1，1]求出m和n所滿足的條件，運(yùn)用幾何概型求事件B發(fā)生的概率．

解答：解：（I）有序數(shù)組（m，n）的所有可能結(jié)果為：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-2），
（2，-1），（2，1），（2，2）共有16種．
使得

a

⊥

b

成立的（ m，n ），滿足：2m+n=0，n=-2m
事件A有（-1，2），（1，-2）有2種．
故所求的概率為：p(A)=

2

16

=

1

8

．
（II）使得

a

與

b

所成角為鈍角成立的（ m，n ）滿足：2m+n＜0，且mn≠2．
Ω={(m，n)|

-1≤m≤2 -1≤n≤1

}，B={(m，n)|

-1≤m≤2 -1≤n≤1 2m+n＜0 mn≠2

}，區(qū)域如圖所示，
∴P(B)=

1 2 ×( 1 2 + 3 2 )×2

3×2

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考查了古典概型和幾何概型，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，注意（2）中的測度比是面積比，該題為中檔難度的題型．