Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1且

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2，n∈N），則此數列的第12項為（　�。�

• A．

  1

  6

• B．

  1

  12

• C．

  1

  2n

• D．

  1

  212

Answer 1

分析：由

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2）可得

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，即可得{

1

an

}是等差數列，結合等差數列的通項公式可求

1

an

，進而可求a_n，把n=6代入通項可求

解答：解：∵

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

∵a₁=2，a₂=1
∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

∴{

1

an

}是

1

2

以為首項，以

1

2

為公差的等差數列
由等差數列的通項公式可得，

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴an=

2

n

∴a12=

1

6

故選A

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的項，解題的關鍵是靈活利用等差中項的定義判斷數列為等差數列，結合等差數列的通項公式進行求解