Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

ax+1

（a＞0，a≠1），記函數(shù)[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的值域為D，若元素t∈D，且t∈Z，則t的個數(shù)為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．無窮多個

Answer 1

分析：由已知中f（x）=

ax

ax+1

，可得到函數(shù)[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的解析式，結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，可求出D，進而得到滿足條件的t的個數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

ax

ax+1

=1-

1

ax+1

∴f（-x）=

a-x

a-x+1

=

1

ax+1

故f（x）+f（-x）=1
∴[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]=[f（x）-

1

2

][1-f（x）-

1

2

]
=-[f（x）-

1

2

]²
=-（

1

2

-

1

ax+1

）²，
∵a^x＞0，故0＜

1

ax+1

＜1
故-

1

2

＜

1

2

-

1

ax+1

＜

1

2

故-

1

4

＜-（

1

2

-

1

ax+1

）²≤0
即D=（-

1

4

，0]
由元素t∈D，且t∈Z，
故滿足t的個數(shù)為1個
故選A

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，其中根據(jù)書籍求出函數(shù)[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的解析式是解答的關鍵．