Question

某工廠共有10臺機器，生產一種儀器元件，由于受生產能力和技術水平等因素限制，會產生一定數量的次品．根據經驗知道，若每臺機器產生的次品數P（萬件）與每臺機器的日產量x（萬件）（≤x≤12）之間滿足關系：P=0.1x²-3.2lnx+3．已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每產生1萬件裝次品將虧損1萬元．（利潤=盈利-虧損）
（Ⅰ）試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤y（萬元）表示為x的函數；
（Ⅱ）當每臺機器的日產量x（萬件）為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

（Ⅰ）由題意得，所獲得的利潤為y=10[2（x-p）-p]=20x-3x²+96lnx-90（4≤x≤12）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y′=

-6x2+20x+96

x

=

-2(3x+8)(x-6)

x

當4≤x＜6時，y′＞0，函數在[4，6]上為增函數；當6＜x≤12時，y′＜0，函數在[6，12]上為減函數，
∴當x=6時，函數取得極大值，且為最大值，最大利潤為y=20×6-3×6²+96ln6-90=96ln6-78（萬元）
答：當每臺機器的日產量為6萬件時所獲得的利潤最大，最大利潤為96ln6-78萬元．