Question

（09年湖北補習學校聯考理）（14分）在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為.

（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.

 （Ⅱ）過點A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點，求的最小值的集合.

Answer 1

解析：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，

設 |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，

所以焦距 2c=|AB|=6. ...................................................2分

 因為

又 ，所以 ，

由題意得 ...........................................4分

此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P(0，±4).

所以C點的軌跡方程為   .............................6分

（Ⅱ）不妨設A點坐標為A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

(1)當直線MN的傾斜角不為90⁰時，設其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡，得 .......................................7分

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

                                            ......................... 10分

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當k=0時，取最小值16. .................................12分

(2)當直線MN的傾斜角為90⁰時，x₁=x₂=-3,得 .....12分

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集............................................................14分