Question

已知向量

a

=（sina，cosa），

b

=（6sina+cosa，7sina-2cosa），設函數f（a）=

a

•

b

．
（1）求函數f（a）的最大值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量點乘運算表示出f（a）=

a

•

b

=4

2

sin（2a-

π

4

）+2，再由三角函數的最值求出函數f（a）的最大值．
（2）根據（1）中函數f（a）的解析式表示出f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，可得sin（2A-

π

4

）=

2

2

，再根據角A的范圍確定A=

π

4

由三角形ABC的面積可求出b乘以c的值，最后根據余弦定理可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（a）=

a

•

b

=sina（6sina+cosa）+cosa（7sina-2cosa）
=6sin²a-2cos²a+8sinacosa=4（1-cos2a）+4sin2a-2
=4

2

sin（2a-

π

4

）+2
∴f(a)max=4

2

+2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，sin（2A-

π

4

）=

2

2

因為 0＜A＜

π

2

，所以-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

所以：2A-

π

4

=

π

4

，A=

π

4

∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=3
∴bc=6

2

，又b+c=2+3

2

∴a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×

2

2

=(2+3

2

)2-12

2

-2×6

2

×

2

2

=10
∴a=

10

點評：本題主要考查平面向量的坐標運算和三角函數里的正余弦定理．這里要熟練掌握正余弦定理的基本內容．