Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，點E，F分別為BC，PD的中點，設直線PC與平面AEF交于點Q．

（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求證：AB∥l．

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明AB∥平面PCD，然后利用直線與平面平行的性質定理證明AB∥l；

（2）以點A為原點，直線AE、AD、AP分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面PCD的法向量和直線AQ的方向向量，然后利用空間向量的數量積求解直線AQ與平面PCD所成角的正弦值即可．

（1）證明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD．

∴AB∥平面PCD，

∵AB平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，

∴AB∥l；

（2）∵底面是菱形，E為BC的中點，且AB=2，

∴，

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，則以點A為原點，直線AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則，

∴，，

設平面PCD的法向量為，有，，得，

設，則，

再設，

則，解之得，∴，

設直線AQ與平面PCD所成角為α，

則，

∴直線AQ與平面PCD所成角的正弦值為．