Question

已知函數f(x)=ln

1+2x

+mx．
（I）若f（x）為定義域上的單調函數，求實數m的取值范圍；
（II）當m=1，且1≥a＞b≥0時，證明：

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

Answer 1

分析：（I）整理函數求出函數的定義域，對函數求導，根據定義域得到函數的導函數小于0不能恒成立，所以只能整理導函數大于0恒成立，分離參數得到結論．
（II）當m=1時，構造新函數g（x），對新函數求導，得到新函數在[0，1]上遞增，利用遞增函數的定義，寫出遞增所滿足的條件，在構造新函數h（x），同理得到函數在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結論．

解答：解：（I）f(x)=ln

1+2x

+mx=

1

2

ln(1+2x)+mx(x＞-

1

2

)，
∴f′(x)=

1

1+2x

+m．
對x＞-

1

2

，

1

1+2x

＞0，故不存在實數m，
使f′(x)=

1

1+2x

+m＜0對x＞-

1

2

恒成立，
由f′(x)=

1

1+2x

+m≥0對x＞-

1

2

恒成立得，
m≥-

1

1+2x

對x＞-

1

2

恒成立
而-

1

1+2x

＜0，故m≥0
經檢驗，當m≥0時，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0對x＞-

1

2

恒成立
∴當m≥0時，f（x）為定義域上的單調遞增函數．
（II）證明：當m=1時，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x
g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

，
在[0，1]上總有g′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上遞增
∴當1≥a＞b≥0時，g（a）＞g（b），
即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b?

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．
令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即f(a)-2a＜f(b)-2b?

f(a)-f(b)

a-b

＜2
綜上所述，當m=1，且1≥a＞b≥0時，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，考查根據需要構造新函數，考查遞增函數的定義，考查函數的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個中檔題．