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已知函數f(x)=ln
1+2x
+mx

(I)若f(x)為定義域上的單調函數,求實數m的取值范圍;
(II)當m=1,且1≥a>b≥0時,證明:
4
3
f(a)-f(b)
a-b
<2
分析:(I)整理函數求出函數的定義域,對函數求導,根據定義域得到函數的導函數小于0不能恒成立,所以只能整理導函數大于0恒成立,分離參數得到結論.
(II)當m=1時,構造新函數g(x),對新函數求導,得到新函數在[0,1]上遞增,利用遞增函數的定義,寫出遞增所滿足的條件,在構造新函數h(x),同理得到函數在[0,1]上遞減,得到遞減的條件,得到結論.
解答:解:(I)f(x)=ln
1+2x
+mx=
1
2
ln(1+2x)+mx(x>-
1
2
)

f′(x)=
1
1+2x
+m

x>-
1
2
1
1+2x
>0
,故不存在實數m,
使f′(x)=
1
1+2x
+m<0
x>-
1
2
恒成立,
f′(x)=
1
1+2x
+m≥0
x>-
1
2
恒成立得,
m≥-
1
1+2x
x>-
1
2
恒成立
-
1
1+2x
<0,故m≥0
經檢驗,當m≥0時,f′(x)=
1
1+2x
+m>0
x>-
1
2
恒成立
∴當m≥0時,f(x)為定義域上的單調遞增函數.
(II)證明:當m=1時,令g(x)=f(x)-
4
3
x=
1
2
ln(1+2x)-
1
3
x

g′(x)=
1
1+2x
-
1
3
=
2(1-x)
3(1+2x)

在[0,1]上總有g′(x)≥0,
即g(x)在[0,1]上遞增
∴當1≥a>b≥0時,g(a)>g(b),
f(a)-
4
3
a>f(b)-
4
3
b?
f(a)-f(b)
a-b
4
3

h(x)=f(x)-2x=
1
2
ln(1+2x)-x

由(2)知它在[0,1]上遞減,
∴h(a)<h(b)
f(a)-2a<f(b)-2b?
f(a)-f(b)
a-b
<2

綜上所述,當m=1,且1≥a>b≥0時,
4
3
f(a)-f(b)
a-b
<2
點評:本題考查函數的單調性與導數的關系,考查根據需要構造新函數,考查遞增函數的定義,考查函數的恒成立問題,考查解決問題的能力和分析問題的能力,是一個中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數a,b的值:
(2)當a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數),直線l與函數f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調性;
(2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數,x∈R,a∈R.
(1)當1<a<2時,若f(x)在區間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數.

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