Question

已知函數f(x)=2

3

cosxsinx+2sin2x(x∈R)，給出下列四個命題：
①(

π

12

，0)是函數f（x）圖象的一個對稱中心；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上是增函數；
④f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱；
⑤x∈[-

π

4

，

π

3

]時，f（x）的值域為[1-

3

，3]．
其中正確的命題為（　　）

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：化簡原函數，可得最小正周期為T=π，排除A和C，由三角函數的性質和不等式可得⑤錯誤，綜合選項可得答案．

解答：解：化簡原函數可得f（x）=

3

sin2x+1-cos2x=2sin（2x-

π

6

）+1，
可得最小正周期為T=π，故②錯誤排除A和C
而⑤當x∈[-

π

4

，

π

3

]時，（2x-

π

6

）∈[-

2π

3

，

π

2

]，
故-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
∴f（x）的值域為[-1，3]．故錯誤，
故選D

點評：本題考查三角函數的性質，涉及函數的對稱性和單調性以及值域，排除法是解決問題的關鍵，屬中檔題．