Question

設(shè)在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）猜測(cè)a_n的表達(dá)式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述a_n的表達(dá)式．

Answer 1

（1）a₂=

3× 1 2

1 2 +3

=

3

7

，
a₃=

3× 3 7

3 7 +3

=

3

8

，
a₄=

3× 3 8

3 8 +3

=

1

3

；
（2）根據(jù)（1）猜測(cè)a_n的表達(dá)式a_n=

3

n+5

；
（3）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

3

1+5

=

1

2

，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=

3

k+5

則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

3ak

ak+3

=

9 k+5

3 k+5 +3

=

3

k+6

=

3

(k+1)+5

，等式也成立
由（1）（2）可知，上述猜想對(duì)一切n∈N^*都成立