Question

在平面直角坐標系x0y中，拋物線y²=2x的焦點為F，若M是拋物線上的動點，則

|MO|

|MF|

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：設M 到準線x=-

1

2

 的距離等于d，由拋物線的定義可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化簡為

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，令m-

1

4

=t，則m=t+

1

4

，

|MO|

|MF|

=

1+ 1 t+ 3 2 + 9 16t

，利用基本不等式求得最大值．

解答：解：焦點F（

1

2

，0），設M（m，n），則n²=2m，m＞0，設M 到準線x=-

1

2

 的距離等于d，
則

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ 1 2

=

m2+2m

m+ 1 2

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

m2+m+m+ 1 4 - 1 4 m2+m+ 1 4

=

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

．令 m-

1

4

=t，t＞-

1

4

，則 m=t+

1

4

，

|MO|

|MF|

=

1+ t t2+ 3 2 t+ 9 16

=

1+ 1 t+ 3 2 + 9 16t

≤

1+ 1 3

=

2 3

3

（當且僅當 t=

3

4

 時，等號成立）．
故

|MO|

|MF|

的最大值為

2 3

3

，
故答案為

2 3

3

．

點評：本題考查拋物線的定義、簡單性質，基本不等式的應用，體現了換元的思想，把

|MO|

|MF|

化為

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．