Question

給出下列命題：①若復平面內復數z=x-i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，則實數x的取值范圍是-＜x＜；②在復平面內，若復數z滿足|z-i|+|z+i|=4，則z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；③若z³=1，則復數z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數，則實數x=±1，其中，正確命題的序號是    

Answer 1

【答案】分析：①根據若復平面內復數z=x-i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，得到＜1，解不等式得到實數x的取值范圍是-＜x＜知本題正確；②在復平面內，z到兩個定點的距離之和是一個定值，根據橢圓的定義知z軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
③若z³=1，則復數z一定等于1，得到z=1，或z=-④要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0，而當x=-1時，x²+3x+2=0
解答：解：①∵若復平面內復數z=x-i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，
∴＜1，
∴
∴實數x的取值范圍是-＜x＜
∴①正確；
②在復平面內，若復數z滿足|z-i|+|z+i|=4，
由復數的幾何意義知，z到兩個定點的距離之和是一個定值4
且4＜2
∴z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
∴②正確；
③若z³=1，則復數z一定等于1
當復數z是一個實數時，z=1，
當復數z是一個虛數時，z=-
∴③不正確；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數，
要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而當x=-1時，x²+3x+2=0
∴④不正確．
故答案為：①②
點評：本題是一個對于復數運算的綜合題，包括復數的各種運算和性質，而復數的加減乘除運算是比較簡單的問題，在高考時有時會出現，若出現則是要我們一定要得分的題目．