Question

設橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，左焦點到左準線的距離為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C上有不同兩點P、Q，且OP⊥OQ，過P、Q的直線為l，求點O到直線l的距離．

Answer 1

【答案】分析：設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），b=．由-c-（）=3，得c=．由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率不存在，設l與x正半軸交于點M，將x=y代入+=1中，得到點P（2，2），Q（2，-2），于是點O到l的距離為2．若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標是方程組的兩個實數解，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
則2b=2，b=．
由-c-（）=3，即==3，得c=．
于是a²=b²+c²=21+7=28，橢圓C的方程為+=1．（5分）
（2）若直線l的斜率不存在，即l⊥x軸時，不妨設l與x正半軸交于點M，將x=y代入+=1中，得x=y=±2，則點P（2，2），Q（2，-2），于是點O到l的距離為2．（7分）
若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標是方程組的兩個實數解，
消去y，整理，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-84）=12（28k²-m²+21）＞0，①
x₁+x₂=-，x₁•x₂=．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1，即•=-1，x₁x₂+y₁y₂=0．
于是x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．③
將x₁+x₂，x₁x₂代入上式，得（1+k²）•-km+m²=0，
∴（k²+1）（4m²-84）-8k²m²+m²（4k²+3）=0，
化簡，得m²=12（k²+1）．④
④代入①滿足，因此原點O到直線l的距離d===2．（12分）
點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選用公式．