Question

設函數f(x)=|x²-4x-5|.

(1)在區間［-2,6］上畫出函數f(x)的圖象；

(2)設集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞)，試判斷集合A和B之間的關系，并給出證明；

(3)當k＞2時，證明在區間［-1,5］上，y=kx+3k的圖象位于函數f(x)圖象的上方.

Answer 1

(1)解：

(2)解：方程f(x)=5的解分別是2-，0,4和2+，由于f(x)在(-∞,-1)和［2,5］上單調遞減，在［-1，2］和［5,+∞)上單調遞增，因此A=(-∞,2-)∪［0,4］∪［2+,+∞).

    由于2+＜6,2-＞-2,

    ∴BA.

(3)證法一：當x∈［-1,5］時，f(x)=-x²+4x+5,

    g(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)

    =x²+(k-4)x+(3k-5)

    =(x-)²-,

    ∵k＞2,∴＜1.

    又-1≤x≤5,

    ①當-1≤＜1,即2＜k≤6時，取x=,g(x)_min=-=-［(k-10)²-64］.

    ∵16≤(k-10)²＜64,∴(k-10)²-64＜0.則g(x)_min＞0.

    ②當＜-1,即k＞6時，取x=-1,g(x)_min=2k＞0.

    由①②,可知當k＞2時，g(x)＞0,x∈［-1,5］.

    因此，在區間［-1,5］上，y=k(x+3)的圖象位于函數f(x)圖象的上方.

    證法二：當x∈［-1,5］時，f(x)=-x²+4x+5.

    由得x²+(k-4)x+(3k-5)=0.

    令Δ=(k-4)²-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18.

    在區間［-1,5］上，當k=2時，y=2(x+3)的圖象與函數f(x)的圖象只交于一點(1,8)；當k=18時，y=18(x+3)的圖象與函數f(x)的圖象沒有交點.

    由于直線y=k(x+3)過點(-3,0)，當k＞2時，直線y=k(x+3)是由直線y=2(x+3)繞點(-3,0)逆時針方向旋轉得到的.因此，在區間［-1,5］上，y=k(x+3)的圖象位于函數f(x)圖象的上方.