Question

已知數(shù)列{a_n}的第一項(xiàng)a₁=1，且an+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…），試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：利用遞推關(guān)系式可求出a₂，a₃，a₄，…，進(jìn)而猜想歸納出其通項(xiàng)公式．

解答：解：由題意可得：a2=

a1

1+a1

=

1

1+1

=

1

2

，
a3=

a2

1+a2

=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a4=

a3

1+a3

=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

，
…
∴通過(guò)觀察歸納出規(guī)律：其通項(xiàng)應(yīng)是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子為1，分母與相應(yīng)的下標(biāo)相同，
故an=

1

n

（n∈N^*）．
可用數(shù)學(xué)歸納法或取倒數(shù)法加以證明．

點(diǎn)評(píng)：正確理解遞推關(guān)系并求出數(shù)列的前幾項(xiàng)和使用歸納推理是解題的關(guān)鍵．