Question

定義在實數集R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上是單調遞增函數．
（1）試判斷并證明f（x）在（-∞，0）上的單調性；
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，由f（x）在（0，+∞）是單調增函數從而有f（-x₁）＞f（-x₂），再由f（x）是偶函數，得到f（x₁）＞f（x₂）由定義得證．
（2）通過f（x）是偶函數，將模型轉化為：f（1）＜f（|lgx|），再利用f（x）是（0，+∞）上的單調增函數求解．

解答：解：（1）f（x）在（-∞，0）是單調減函數（2分）
設x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）是單調增函數
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又∵f（x）是偶函數，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）是單調減函數（8分）
（2）由f（x）是偶函數，
f（1）＜f（|lgx|）又f（x）是（0，+∞）上的單調增函數
∴|lgx|＞1；（11分）
∴lgx＞1或lgx＜-1
∴x＞10或0＜x＜

1

10

為所求x的取值范圍．（14分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的綜合運用，還考查了轉化思想，屬中檔題．