Question

【題目】定義在R上的函數f(x)，滿足當x>0時，f(x)>1，且對任意的x，y，有，f(1)＝2,且.

（1）求f(0)的值；

（2）求證：對任意x，都有f(x)>0；

（3）解不等式f(32x)>4．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝1．(2)證明見解析；(3)

【解析】

（1）利用賦值法，先令以及令，由此解得的值.（2）首先利用結合已知條件證得，再利用反證法，證得，由此證得成立.（3）利用賦值法，將轉化為，通過證明函數為上的增函數，由求得不等式的解集.

（1）對任意，．

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)1]＝0．

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，對任意x成立，

所以f(0)≠0，因此f(0)＝1．

（2）證明：對任意x，有．

假設存在x0，使f(x0)＝0，

則對任意x>0，有f(x)＝f[(xx0)＋x0]＝f(xx0)·f(x0)＝0．

這與已知x>0時，f(x)>1矛盾．所以，對任意x，均有f(x)>0成立．

（3）令x＝y＝1有f(11)＝f(1)·f(1)，

所以f(2)＝2×2＝4．任取x1，x2，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)＝f[(x2x1)＋x1]f(x1)＝f(x2x1)·f(x1) f(x1)＝f(x1)·[f(x2x1)1]．

∵x1<x2，∴x2x1>0，由已知f(x2x1)>1，∴f(x2x1)1>0．

由（2）知x1，f(x1)>0．所以f(x2)f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)．

故函數f(x)在上是增函數．

由f(32x)>4，得f(32x)>f(2)，即32x>2．解得x<．

所以，不等式的解集是 ．