Question

已知點H(0，―3)，點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，．

(1)當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；

(2)過定點A(a，b)的直線與曲線C相交于兩點S、R，求證：拋物線S、R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上．

Answer 1

答案：
解析：

答案：； (1)解：設P(a，0)，Q(0，b) 則：　∴ 設M(x，y)∵ ∴　 ∴ (2)解法一：設A(a，b)，，(x1≠x2) 則：直線SR的方程為：，即4y =(x1+x2)x－x1x2 ∵A點在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2　① 對求導得：y′=x ∴拋物線上S、R處的切線方程為： 即4　　② 即4　③ 聯立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0 故：B點在直線ax－2y－2b=0上 解法二：設A(a，b) 當過點A的直線斜率不存在時l與拋物線有且僅有一個公共點，與題意不符，可設直線SR的方程為y－b=k(x－a) 與聯立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0 設，(x1≠x2) 則由韋達定理： 又過S、R點的切線方程分別為：， 聯立，并解之得 (k為參數) 消去k，得：ax－2y－2b=0 故：B點在直線2ax－y－b=0上