Question

已知函數f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底數）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中點為C（x，0），求證：g（x）在x處的導數g′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）只需要利用導數的幾何意義即可獲得兩個方程解得兩個未知數；
（Ⅱ）先要利用導數研究好函數h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的單調性，結合單調性及在內有兩個不等實根通過數形結合易知m滿足的關系從而問題獲得解答；
（Ⅲ）用反證法現將問題轉化為有關方程根的形式，在通過研究函數的單調性進而通過最值性找到矛盾即可獲得解答．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-2bx，，f（2）=aln2-4b．
∴，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在內，
當時，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函數；
當x∈[1，e]時，h′（x）＜0，
∴h（x）是減函數，
則方程h（x）=0在內有兩個不等實根的充要條件是：

即．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，．
假設結論成立，則有：

①-②，得．
∴．
由④得，
∴
即，即．⑤
令，（0＜t＜1），
則＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函數，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，與假設矛盾．
∴g'（x）≠0．
點評：本題考查的是函數與方程以及導數知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現了函數與方程的思想、數形結合的思想、問題轉化的思想以及反證法．值得同學們體會反思．