Question

已知函數f（x）的圖象在[a，b]上連續不斷曲線，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最小值，max{f（t）|x∈D}表示函數f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．
（1）已知函數f（x）=2sinx（0≤x≤

n

2

），試寫出f₁（x），f₂（x）的表達式，并判斷f（x）是否為[0，

n

2

]上的“k階收縮函數”，如果是，請求對應的k的值；如果不是，請說明理由；
（2）已知b＞0，函數g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f1（x）=0，f2（x）=2sinx，x∈[0，

π

2

]，于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．若f（x）是[0，

π

2

]上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立，且?x₁∈[0，

π

2

]使得2sinx＞（k-1）x成立，構造函數φ（x）=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，可得2sinx≤2x在[0，

π

2

]恒成立，由此可得結論；
（2）先對函數g（x）進行求導判斷函數的單調性，進而寫出g₁（x）、g₂（x）的解析式，分類討論，利用g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得，f1（x）=0，f2（x）=2sinx，x∈[0，

π

2

]
于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0，

π

2

]上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立，且?x₁∈[0，

π

2

]使得2sinx＞（k-1）x
成立．
令φ（x）=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，則φ′（x）=cosx-1＜0，所以φ（x）=sinx-x在[0，

π

2

]單調遞減，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，

π

2

]，即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0，

π

2

]恒成立；
又?x₁=

π

2

，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整數k=2，使f（x）為[0，

π

2

]上的“2階收縮函數”． 
（2）g'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函數g（x），g′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）		0		4

（ⅰ）b≤2時，g（x）在[0，b]上單調遞增，
因此，g₂（x）=g（x）=-x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因為g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數，
所以，①g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）對x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）-g₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或

3- 5

2

＜x＜

3+ 5

2

，所以，需且只需b＞

3- 5

2

．
綜合①②可得：

3- 5

2

＜b≤1
（ⅱ）當b＞2時，顯然有

3

2

∈[0，b]，由于g（x）在[0，2]上單調遞增，
根據定義可得：g₂（

3

2

）=

27

8

，g₁（

3

2

）=0，可得g₂（

3

2

）-g₁（

3

2

）=

27

8

＞2×

3

2

=3，
此時，g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）不成立．
綜合（ⅰ），（ⅱ）可得：

3- 5

2

＜b≤1．

點評：本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．